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测地度量空间中若干广义非扩张型映射的教学不动点性质

发布时间:2020-08-19 11:32 论文编辑:admin 所属栏目:教育教学 TAG: [db:关键字]

本文是一篇教育教学论文,教育是一种教书育人的过程,可将一种最客观的理解教予他人,而后在自己的生活经验中得以自己所认为的价值观。教育,是一种提高人的综合素质的实践活

本文是一篇教育教学论文,教育是一种教书育人的过程,可将一种最客观的理解教予他人,而后在自己的生活经验中得以自己所认为的价值观。教育,是一种提高人的综合素质的实践活动。(以上内容来自百度百科)今天为大家推荐一篇教育教学论文,供大家参考。
 
第1章 绪论
 
1.1研究来源及意义
泛函分析是一门涉及了无穷维拓扑向量空间的数学学科,它综合了丰富的线性结构与拓扑结构知识,并以此来研究这些结构之间的映射关系。泛函分析起源于上世纪30年代,通过数学物理方程和量子力学的不断推动、借助经典分析和函数论成果的不断整合,泛函分析这一学科逐步蓬勃发展起来。由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中研究,因此逐步形成了种种综合运用代数、几何(包括拓扑)手段处理分析问题的新方法。由于这种纯粹形式的代数、拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的,这使得泛函分析中涉及到的基本概念、定理和方法显得尤为广泛、尤为深刻。然而,随着自然科学和工程技术的不断发展,非线性问题开始大量涌现。人们发现,很难用已有的线性模型来研究这些含有非线性映射的数学问题。从而,许多数学工作者们开始借助经典的微积分理论和线性泛函分析的观点方法来研究各种非线性问题。此外,随着生物、化学、经济以及许多新领域中新方法的出现,许多现有的研究方法得到了极大地拓展。因此,在沉寂了近30年之后,到了20世纪60年代,一个新的数学分支非线性泛函分析逐步成为了数学的主流研究方向。事实上,线性和非线性问题的存在性通常被转换成不动点的存在性问题,例如,偏微分方程的解的存在性,积分方程的解的存在性,以及动力系统中的周期轨道的存在性。这使得不动点理论成为一个热门的研究领域和一个充满活力的研究方向。不动点理论产生于拓扑变换理论,是现代数学的最有力研究工具之一。尽管经历了近一个世纪的发展,关于不动点性质的大部分关键性问题得以解决,但是仍然吸引着源源不断的国内外数学工作者及其学生们投身其中,而且许多问题依旧是开放性的。其中,国内外数学工作者们较为关心的研究方向之一便是Banach不动点理论,及其在数学分析、数学建模等方面变换形式的应用。
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1.2研究现状分析
不动点理论起源于20世纪初荷兰数学家Brouwer的研究。1909年,Brouwer开始关于曲面上连续映射问题的研究,陆续发表了一系列文章。1911年,他在拓扑学的基础上,率先利用度理论给出了一个关于连续单值映射的不动点存在性的证明,由此创立了不动点理论。定理1.1[1]设B是Rn中的一个闭单位球,T : B → B是一个连续映射。那么,T在B中必存在一个不动点。即,存在x ∈ B,满足x = T x.“Brouwer不动点定理”凭借简洁的假设、明确的结论,震惊了整个数学领域。该定理成为了现代数学的最优秀成果之一,它可应用到有限维空间,并打下了一般不动点定理的基础。自此以后,不动点问题引起了国内外数学工作者们的广泛关注并进行了深入的研究,取得了许多重要的研究成果。1922年,波兰数学家Banach[2]给出了度量空间上第一个不动点定理,即著名的“Banach压缩映象原理”。因其结果的优美以及成功地解决了隐函数存在定理、微分方程初值问题解的存在性等一系列重大的应用问题,使得数学工作者们对不动点理论产生了浓厚的兴趣并展开了广泛的研究。“Banach压缩映象原理”使得大量的国内外数学工作者们意识到,不动点理论不仅仅局限于欧式空间中多面体映射的研究,还可以拓展到一般的线性拓扑空间或度量空间中去。受此启发,数学工作者们开始探索更多深刻而有趣的事实,其中最具盛名的,应该是有关Banach空间几何方面的结果。
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第2章CAT(0)空间中平均非扩张映射的不动点性质
 
本章主要研究CAT(0)空间中平均非扩张单值映射的不动点存在性及半闭原理,并利用Ishikawa迭代证明平均非扩张单值映射的收敛定理。此外,寻找CAT(0)空间中平均非扩张集值映射稳定点存在的充分必要条件。
 
2.1引言
非扩张映射是压缩映射的一种自然推广形式,是度量不动点理论中最重要的研究课题之一。因此,自上世纪60年代以来,关于非扩张映射的广义形式的探讨层出不穷。显然,相比非扩张映射,“广义非扩张映射”的概念是一种更倾向于几何观点的定义形式。1975年,Chang和Huang[91]讨论了条件(2-1)中a2= a3,a4= a5的情况,并称满足此条件的广义非扩张型映射为平均非扩张映射。此外,他们还证明了在具有正规结构的Banach空间中连续的平均非扩张映射不动点的存在性。
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2.2 CAT(0)空间中平均非扩张单值映射的不动点存在定理
集值映射稳定点的概念要比不动点更难,也更重要(对于单值映射来说,两个定义等价)。然而,关于非扩张集值映射稳定点的存在性问题的讨论基本属于未开发阶段,这是因为大部分结果都需要映射满足类似于压缩映射的条件(参见[98])。最近,这方面研究有了一些突破性进展。一些数学工作者们开始通过渐近不动点序列的性质来研究广义非扩张集值映射,那么,稳定点的存在性也就可以自然推得(参见[99–101])。为了讨论CAT(0)空间中平均非扩张集值映射的稳定点问题,我们首先将平均非扩张集值映射的定义引入到CAT(0)空间中。设E是CAT(0)空间(X,d)中的一个非空子集。我们用BC(E)表示E中非空有界闭凸子集的全体,用K(E)表示E中非空紧子集的全体,用KC(E)表示E中非空紧凸子集的全体。
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第3章 测地度量空间中C-型集值映射的不动点性质........ 35
3.1引言....... 35
3.2 CAT(0)空间中C-型集值映射的公共不动点存在定理............. 36
3.3 CAT(0)空间中C-型集值映射的不动点收敛定理......... 41
3.4 UCW-双曲空间中C-型集值映射的三步迭代收敛定理............ 43
3.5本章小结........... 48
第4章CAT(0)空间成对映射的公共不动点性质.... 49
4.1引言....... 49
4.2 CAT(0)空间中成对映射的公共不动点存在定理......... 53
4.3 CAT(0)空间中成对映射的公共不动点收敛定理......... 58
4.4本章小结........... 59
第5章CAT(0)空间L-型映射的不动点性质.......... 61
5.1引言....... 61
5.2 CAT(0)空间中L-型映射与其他广义非扩张型映射的关系...... 62
5.3 CAT(0)空间中L-型映射的不动点存在定理..... 65
5.4 CAT(0)空间中L-型映射的不动点收敛定理...... 67
5.5本章小结........... 70
 
第5章CAT(0)空间L-型映射的不动点性质
 
本章将讨论CAT(0)空间中L-型映射与其他广义非扩张型映射的包含关系,并研究L-型单值映射的不动点的存在性、收敛性及半闭原理。此外,将证明若干L-型映射的公共不动点定理。
 
5.1引言
2011年,Llorens-Fuster与Moreno-Ga′lvez[120]在Banach空间中引入了一类单值映射。他们称之为L-型映射,并证明了Banach空间中定义在非空紧凸子集上的L-型自单值映射具有不动点性质。L-型映射包含之前提及的如定义3.1中的C-型映射,在一些情况下,也包含如定义4.1中的Eμ-型映射和定义4.2中的Cλ-型映射。可见,L-型映射是比非扩张映射更广的映射类型。Banach空间中L-型单值映射的定义如下。本章首先将L-型映射的单值与集值形式引入到CAT(0)空间中,并讨论了L-型映射与其他非扩张型映射的包含关系。接下来,证明了CAT(0)空间中定义在有界闭凸集上的L-型单值映射的不动点存在性定理。并进一步证明了两个公共不动点定理,分别是一族可数可交换的L-型单值映射的公共不动点定理以及满足(L)条件的单值和集值的公共不动点定理。随后,研究了L-型映射的半闭原理。最后,利用第三章介绍的T-迭代证明L-型映射的  -收敛与强收敛定理。
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结 论
 
不动点理论的主要研究方向是判断不动点的存在性与收敛性,即寻找空间及算子满足何种条件才能具有不动点性质以及如何构造更快更稳定的迭代序列收敛于算子不动点。本文围绕测地度量空间中若干广义非扩张型映射的不动点性质展开研究,得到主要结果如下:
(1)将广义非扩张型映射(包括平均非扩张映射、C-型映射、L-型映射)引入到测地度量空间中。同时,提出了两种新的成对映射(分别称为满足条件(PCλ)的映射和满足条件(PEμ)的映射),并举例说明它们是比满足条件(Cλ)及条件(Eμ)的映射更广的映射类型。